一、浅水长波近似方程的显式精确解（论文文献综述）
梁建莉[1]（2021）在《关于几类非线性波方程的精确行波解研究》文中研究指明本文利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了几类具有物理意义的非线性波方程的精确行波解.这些方程包括广义二分量peakon型对偶方程、旋转Camassa-Holm方程、一类非局域流体动力学方程以及分数阶mKdV方程.本文详细分析了这些非线性波方程对应的行波系统的动力学性质,以及其随参数而改变的分支行为,并借助椭圆函数等工具,通过复杂计算获得了丰富的精确行波解.本文共分七章,具体安排如下:第一章绪论,介绍了孤立子理论的发展历史,介绍了几种重要的非线性波方程的求解方法.阐明了本文的主要研究内容和研究成果.第二章介绍了与本文相关的一些基础知识,包括动力系统与微分方程,奇非线性波方程的动力系统方法.第三章研究了两个广义二分量peakon型对偶方程的分支和精确行波解,其中一个方程包含了着名的二分量Camassa-Holm方程.利用动力系统方法和奇行波方程理论,将两个方程约化为同一个平面动力系统.通过对奇异行波系统进行定性分析,画出它的相图分支,并得到了尽可能多的精确行波解,包括孤立波解、孤立尖波解、伪孤立尖波解、周期尖波解、破缺波解等.经过综合对比和分析,发现这些行波解的分布遵循一定的规律.第四章研究了旋转Camassa-Holm方程的分支和精确行波解.旋转Camassa-Holm方程包含了着名的Camassa-Holm方程,是广义Camassa-Holm方程的一个特例.利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了具有五个参数的参数空间中,在不同参数条件下的相图分支问题.得到了光滑孤立波解、周期波解、孤立尖波解、周期尖波解以及破缺波解及其精确表示.另外,从每组相图中都可以清楚地看到奇直线对相图的变化及分支的产生具有很大影响.第五章研究了一类非局域流体动力学方程的分支和精确行波解.通过动力系统方法和奇行波方程理论,获得了方程的各种精确行波解,包括光滑孤立波解、不可数无穷多孤立波解、伪孤立尖波解、周期尖波解、破缺波解、扭波和反扭波解等.其中不可数无穷多孤立波解、扭波和反扭波解是我们得到的新解.特别地,不可数无穷多孤立波解与一般光滑孤立波解不同.在高阶平衡点处出现的不可数无穷多同宿轨对应着不可数无穷多孤立波解,是一种非常奇特的现象.第六章研究了具有conformable分数阶导数的mKdV方程的分支和精确行波解.通过行波变换,将分数阶偏微分方程化为依赖于分数阶数α的常微分方程.然后利用动力系统方法分析相应行波系统的相图分支,得到了原系统的精确行波解,包括光滑孤立波解、周期波解、扭波与反扭波解.通过分析发现,分数阶mKdV方程的解具有一般mKdV方程解的基本形式,而且其波宽和波幅依赖于分数阶数α.第七章对本文所做工作进行总结,列出几个需进一步探讨的问题.
陈南[2]（2020）在《长水波近似方程的Painlevé分析与精确解》文中研究说明利用Painlevé分析方法,假设长水波近似方程具有洛朗级数形式的解,对其主导项进行分析;将假设的洛朗级数形式的解代入方程,比较φ的同次幂系数,利用一般项表达式计算调谐因子项,将方程进行有限项"截断",证明长水波近似方程具有Painlevé可积性。在此基础上,导出长水波近似方程的B?cklund变换和奇异流形满足的Schwarz导数方程,通过研究相关的Schwarz导数方程的性质求出该方程的精确解,该精确解可以用双曲三角函数表示。
朱文静[3]（2018）在《非线性浅水波方程的分支问题与精确解研究》文中进行了进一步梳理本论文以动力系统方法为研究工具,以源于实际物理问题的非线性浅水波方程为研究对象,研究了这些非线性数学物理方程的分支问题与精确解,揭示了这些非线性模型蕴涵的丰富的动力学性质.本论文共分七章.第一章是绪论,我们综述了非线性浅水波方程的发展历史、研究现状、主要研究方法以及取得的结果,介绍了李继彬教授提出的研究奇非线性波方程的动力系统方法—“三步法”.第二章我们用动力系统方法研究了 Dullin-Gottwald-Holm方程的精确解及其动力学行为.在不同的参数条件下,我们讨论了所有行波解的分类并给出其精确解的显式参数表达式.为了比较奇异行波系统和相应正则系统解的动力学行为,我们也给出了正则系统的精确解的显式参数表达式.其次,我们以Dullin-Gottwald-Holm方程为例,详细介绍了非线性系统行波解的相关概念,纠正近十年中我们观察到的一些错误.通过第二章的研究我们知道,周期尖波解和伪孤立尖波解是“两尺度”的光滑经典解,他们在峰值点处是局部光滑的.第三章我们用动力系统方法研究了中度振幅浅水方程的行波解及其动力学行为.通过分析行波系统在不同参数条件下的相图,获得了光滑孤立波解、周期波解和周期尖波解的显式参数表达式.同时,我们还证明了破缺波解的存在性.第四章基于动力系统方法,我们研究Burgers-αβ方程的有界行波解的存在性和动力学行为.我们可以把Burgers-αβ方程看作是一个非线性浅水波动力学模型.首先通过变换化简Burgers-αβ方程.再利用动力系统的方法,我们得到了不同参数条件下相应的行波系统的相图分支.对应于一些特殊的水平曲线,得出Burgers-αβ方程在不同参数条件下所有可能存在的精确解,如:周期波解、孤立尖波解、周期尖波解、孤立波解和破缺波解,从而了解系统相应的流体力学性质.第五章我们研究了 Biswas-Milovic方程.令F（|q|2）= α|q|4+β|q|2 通过行波变换,我们得到了 Biswas-Milovic方程的行波系统.利用动力系统方法,我们获得了 Biswas-Milovic方程的行波系统在不同参数条件下的相图分支.对应于一些特殊的曲线,我们求出了精确解的显式参数表达式.这些解有光滑孤立波解、孤立尖波解、扭波解、反扭波解、周期波解、周期尖波解和破缺波解.第六章我们用动力系统方法研究了两类非线性波方程.这两类非线性波方程对应的行波系统是着名的Lienard系统.首先,我们介绍了 Chiellini可积条件,并且求出了 Lienard系统在Chiellini可积条件下的首次积分.然后,我们讨论了广义阻尼sine-Gordon方程和单边势相互作用下的Burgers方程的动力学行为以及行波系统的精确解.同时,对于单边势相互作用下的Burgers方程,我们还讨论了它的全局单调扭波解和非单调扭波解的存在性.在一些特殊的参数条件下,我们还求出了单调扭波解和非单调扭波解的显式参数表达式.最后一章我们对本文的研究结果进行了总结,并提出需要进一步研究的问题.
周博文[4]（2012）在《广义BKP方程的行波解分支》文中研究指明近年来，反映物理，化学等学科问题的非线性波动方程的研究随着非线性科学的不断发展已经成为各领域学者的研究重点.如何求解非线性波动方程已经成为广大科学工作者研究非线性问题的重要课题，具有十分重要的理论价值和现实意义.本文从动力系统分支理论的角度来研究非线性波动方程的行波解分支，并利用可积行波系统的首次积分和相图来研究非线性波动方程的显式精确行波解，求出了一些显式精确行波解，在不能获得显式精确解的情况下，利用动力系统分支理论对光滑和非光滑行波解的存在性进行分析.全文共分五章.第一章是绪论，简要阐述了非线性波动方程的发展历史，研究现状和研究意义.第二章是预备知识，主要介绍了与本文相关的一些基础知识和方法.第三章，用动力系统分支理论研究广义（2+1）维BKP方程，对于不同的m、n和一个固定的a，当参数c, g变化时，我们研究了系统（3.1.5）在相平面（w, z）上的相图分支，并求出系统（3.1.5）的一些孤立波解、紧孤子解、周期尖波解和周期波解的精确参数表示.第四章，运用相图研究了广义（2+1）维BKP方程的动力学性质，证明该方程存在光滑的孤立波解、紧孤子解、周期尖波解和周期波解.并在参数空间的不同区域内，给出光滑与非光滑的周期波解存在的充分条件.最后是总结与展望，对本文的工作进行了总结，提出了有待于进一步解决的问题.
刘春平[5]（2011）在《非线性发展方程求精确解若干问题的研究》文中研究指明非线性发展方程是非线性偏微分方程的重要组成部分,该类方程通常用于描述随时间而演变的过程,其研究对象源自物理学、化学、信息科学、生命科学等诸多领域.对具体的非线性发展方程,如果能够得到它们的精确解,将有助于人们搞清被研究对象在非线性作用下的运动规律,准确地解释自然界中的许多非线性现象以及发现自然现象新的规律.近年来,随着计算机符号计算的发展,非线性发展方程精确求解问题成为一个活跃的研究领域,许多求精确解的直接代数方法已经呈现.本文对近年来求非线性发展方程精确解的一些方法以及若干具体方程的精确解进行研究,全文共分六章.第一章,简要地介绍与本文研究问题有关的背景知识和发展概况,回顾非线性发展方程的若干经典求解方法,如反散射变换方法、Painleve分析、Backlund变换法、Darboux变换法、Hirota双线性方法等.第二章,通过改进齐次平衡法和拓展的齐次平衡法中的一些关键步骤,首先给出了修正的齐次平衡法（Ⅰ）、（Ⅱ）.然后,以广义Boussinesq方程、KP方程和MKdV方程为例,说明了用修正的齐次平衡法（Ⅰ）可以导出非线性发展方程的双线性方程.进而,以（3+1）-维Jimbo-Miwa方程和（2+1）-维变系数KP方程为例,说明了用修正的齐次平衡法（Ⅱ）可以导出非线性发展方程新的自Backlund变换,从两个多维方程新的自Backlund变换出发,我们用摄动方法给出了方程的两孤了解.第三章,对用（G′/G）-展开法、新辅助方程方法、广义Riccati方程方法得到的若干多参数行波解进行分析.首先证明（G′/G）-展开法等价于拓展的tanh函数方法,用（G′/G）-展开法不能够得到非线性发展方程新的行波解.其次证明了Sirendaoreji给出的新辅助方程的十四个解与原辅助方程的解波形波速相同仅是相位不同.最后对Xie等人用符号计算给出的广义Riccati方程的二十七个解进行研究,证明了它们和Riccati方程已知的解是等价的.第四章,分析了求非线性发展方程精确解的两种直接代数法Sirendaoreji的辅助方程方法以及tanh-coth方法.第一节回顾了一些常用的直接代数方法以及用它们求精确解的一般步骤.第二节对Sirendaoreji的辅助方程的解按照个参数进行重新分类,这一分类给出了方程的孤波解和奇异解与三个参数值的关系.利用这一分类修正了文献中给出的MKdV方程第三类孤立波解的存在条件,也得到（2+1）-维色散长波方程组丰富的精确解.第三节证明了平衡数m≤2时,tanh-coth方法等价于双曲函数展开法.第五章,给出一个新的试探函数,构造了三个有重要背景的非线性发展方程的精确解并分析了解之间的关系.三个方程中一个是Burgers方程、KdV方程、KdV-Burgers方程和Benney方程组合起来的方程,另外两个是广义Fisher方程和广义FitzHugh-Nagumo方程.用我们给出的新的试探函数求得的解呈现了一个有趣的现象：扭形孤波解和复值解总是一起出现.基于这一现象,我们证明了对一般的非线性发展方程,tanh θ形式的解一定和tanh2θ±isech2θ形式的解成对出现.第六章,提出了适用于求耦合方程组精确解的广义射影Riccati方程方法.首先引入广义射影Riccati方程,利用它的解包含了几种最常见的Jacobi（?）椭圆函数的事实,说明该方法可以在统一的方法下求得用Jacobi椭圆正弦函数展开法、Jacobi（?）椭圆余弦函数展开法以及其它Jacobi椭圆函数展开法所能得到的方程的解.然后我们具体研究了耦合Klein-Gordon方程组,构造出方程的八种双周期解.
张克磊[6]（2010）在《几类非线性波动方程行波解分支的研究》文中研究表明本文从动力系统分支理论的角度来研究几类非线性波动方程的行波解分支,并充分利用可积行波系统的首次积分和相图来研究非线性波动方程的显式精确行波解,且在难以获得显式精确解的情况下,利用微分方程定性理论对光滑和非光滑行波解的存在性进行分析.全文共分六章.第一章是绪论,简要阐述了非线性波动方程的发展历史,研究现状和研究意义.第二章是预备知识,主要介绍了李继彬教授提出的研究奇非线性行波方程的动力系统方法—“三步法”.第三章,应用“三步法”研究了非线性色散Drinfel’d-Sokolov （D（m,n））系统的行波解分支及其动力学行为.通过“时间尺度”变换,把奇异行波系统D（m,n）系统转化为一个正则系统,利用奇异系统和正则系统的区别和联系,获得了在不同参数条件下各种光滑行波解和非光滑周期波解存在的充分条件,解释了非光滑周期尖波产生的原因.第四章,应用“三步法”研究了广义Camassa-Holm-KP方程的动力学行为.证明了该方程存在孤立波解,扭结波解和反扭结波解,紧解,无穷多光滑和非光滑的周期波解.并在参数空间的不同区域内,给出了孤立波解,扭结波解和反扭结波解,紧解,无穷多光滑和非光滑的周期波解存在的充分条件,并求出了上述一些精确的参数表达式.第五章,应用动力系统理论研究了浅水长波近似方程的精确行波解.在参数空间的不同区域内,给出了光滑孤立波解,扭结波和反扭结波解及无穷多光滑周期波解存在的充分条件,并计算出上述一些显式的精确行波解.第六章是总结与展望,对本文的工作进行了总结,提出了有待于进一步解决的问题.
张克磊,唐生强,王兆娟[7]（2009）在《浅水长波近似方程的行波解分支》文中研究说明运用平面动力系统理论、分支理论和直接方法研究浅水长波近似方程,证明该方程存在光滑孤立波解、扭结波解、反扭结波解及无穷多光滑周期波解.并在不同的参数条件下,给出光滑孤立波解、扭结波解、反扭结波解和光滑周期波解存在的各类充分条件,求出了上述一些有界的显式精确行波解.
何仁国[8]（2009）在《某些非线性发展方程的精确解》文中认为本文主要研究非线性发展方程的精确解,其中包括孤立波解和周期解。非线性发展方程在诸如数学、物理、生物学等各个领域都有广泛的研究和应用。为了得到非线性发展方程的精确解,研究者们得到了许多重要而又有效的方法,如齐次平衡法,tanh函数法,反散射方法,Hirota方法,Painlev（?）截断法,Darboux变换方法,截尾辅助函数法等,而且用不同方法所求的精确解,特别是孤立波解往往在形式上和特征上有很多不同之处。本文在这些方法的基础上进一步研究了非线性Schr（o|¨）dinger（NLS）系统中的（2+1）维非线性耦合可积广义Kaup方程的精确解,并得到了许多新的精确解,其中包括孤立波解和周期解。本文共分为四章:第一章主要介绍了非线性发展方程孤波解的历史背景及其发展现状,并着重介绍了几种求解非线性发展方程的精确解的方法,如截尾辅助函数法,齐次平衡法,Tanh函数法等。第二章把截尾辅助函数法进一步推广应用于非线性Schr（o|¨）dinger系统中的（2+1）维非线性耦合可积广义Kaup方程:借助于计算机代数系统和符号计算,获得了方程（1）的若干新的孤立波解,而且同时也得到了该方程的若干周期解。第三章把齐次平衡法推广应用于非线性Schr（o|¨）dinger系统中的（2+1）维变系数非线性耦合可积广义Kaup方程:其中,α（t）,β（t）,γ（t）,η（t）,μ（t）,ω（t）均为变量t的单变元非零函数。借助于计算机代数系统和符号计算,获得了方程（2）的B（a|¨）cklund变换和若干新的孤立波解,包括单孤立波解,双孤立波解和多孤立波解。本文第四章对本文所得到的结论进行了概括和总结。
何仁国,孙福伟[9]（2008）在《(2+1)维非线性耦合可积广义Kaup方程的精确解》文中进行了进一步梳理应用截尾辅助函数法,借助计算机代数系统与符号计算,获得（2+1）维非线性耦合可积广义Kaup方程若干显式精确解,其中包含周期解和孤立波解.
马正义[10]（2008）在《非线性波动方程的精确解及其孤子结构》文中研究指明在非线性科学中,非线性波动方程精确解的研究有助于理解孤立子理论的本质属性和代数结构,而且对相应自然现象的合理解释及实际应用将起到重要的作用.本论文首先借鉴了非线性物理的对称约化思想和线性物理中的分离变量理论,对处理非线性问题的直接代数法和多线性分离变量法进行了研究和推广,对映射变换理论进行了创新,得到了一些新的结果.将基于行波约化的代数方法推广应用到了非线性离散系统和复杂的非线性系统,寻求其精确的行波解和近似解.然后,根据非线性系统的映射变换解和多线性分离变量解,分别讨论了（2+1）维局域激发模式及其相关的非线性动力学行为.围绕一些具有深刻物理背景的非线性波动方程的局域激发模式及其相关非线性特性—分形特征和混沌行为展开了讨论,这些非线性系统源于流体力学、等离子体物理、固体物理、超导物理、凝聚态物理和光学等实际问题.本文研究表明,Charkson-Kruskal的直接约化方法,映射变换方法和多线性分离变量方法蕴藏着内在的有机联系.另外,本文所得结果说明混沌和分形存在于高维非线性系统是相当普遍的现象.现将本文的主要内容概述如下:第一章,简要回顾了孤立波的发现与研究历史,概述了当前研究孤子解的一些基本方法,其中包括:反散射方法,Darboux变换和B（?）cklund变换,Painlevé分析法和Hirota双线性方法等,最后给出了本论文的主要工作和结构按排.第二章,首先以Boussinesq方程为例,介绍了寻求非线性波动方程相似约化解的三个基本方法:经典李群法、非经典李群法和CK（Clarkson和Kruskal）直接法.然后以sine-Gordon方程组为例,给出了楼和马最近提出的对CK直接法进行的一种修正.在他们的方法中,并没有对原方程进行低维约化,而是在要求自变量不减少的情况下,直接地得到原方程的李对称群.同时,如果利用多直线孤子解的群变换,可以得到各种多曲线激发.最后,仍基于CK直接相似约化的思想,给出了目标约化的一般理论,即:对一个给定的非线性方程,事先建立一个目标函数,通过假设得到的相似约化方程为常微分方程,将其中的系数分解整理成多个规范系数的比率,而不仅仅只有一个.由此,来得到非线性系统有着更加直接而简便的丰富的精确解,其中包括孤立波解,周期波解和有理函数解.第三章,利用CK直接相似约化思想,给出了非线性方程的映射变换理论,突破了已有映射理论只能得到系统行波解的约束,并成功地运用到了多个非线性波动方程组中,如:（2+1）维色散长波方程组、（2+1）维广义Broer-Kaup方程组、（1+1）维非线性Schr（?）dinger方程组、修正的（2+1）维色散水波方程组、(2+1维Nizhnik-Novikov-Veselov方程组等,得到了新型的变量分离的精确解.根据所求得的映射解,分析了若干新的或典型的局域激发模式,如:双周期结构孤子,单值与多值复合的半折叠孤子,裂变孤子和聚合孤子及其演化行为特性等.讨论了一些典型孤子所蕴涵的分形特征和混沌动力学行为.研究结果表明混沌、分形存在于高维非线性系统是相当普遍的现象,其根源在于可积系统的初始状态或边界条件具有“不可积”的分形特性或混沌行为.修正了人们长期认为孤波产生于可积非线性系统而混沌、分形只存在于不可积非线性系统的认识局限性.分析表明,所有由多线性分离变量法得到的（2+1）维非线性系统的局域激发,利用映射变换理论也可以找到.映射变换方法不仅突破了原映射理论只能求解非线性系统行波解的约束,还有望进一步推广应用到其它的非线性系统中,由此,丰富和发展了非线性科学的基本理论.第四章,首先简要介绍了分离变量法在几个方向的发展情况,并以（2+1）维非线性系统为例,给出了楼提出的多线性变量分离法的一般步骤.然后求出了（1+1）维浅水波方程,（2+1）维mBK方程组和另外若干着名的方程组的变量分离解及其推广形式,并讨论了在普适公式下的孤子的结构及其相互作用的行为.一般说来,所得到的多线性分离变量解,可以用来描述系统场量或相应的势函数,进而讨论基于多线性分离变量解引起的系统局域激发及其相关非线性特性.文中报导了一些典型的局域激发模式,如:在所有方向都呈指数衰减的相干局域结构-dromion,在各个方向同时褶皱的多值孤波-折叠子,三维空间中的偶极子型孤子等.第五章,将基于行波约化的代数方法推广应用到了非线性离散系统和复杂的非线性系统,寻求其精确的行波解和近似解.首先给出了微分-差分系统双曲函数法的一般理论,其推广形式及在非线性离散系统中的应用,然后给出了基于行波约化的形变映射理论及非线性Schr（?）dinger方程基于行波的约化解,最后则引进了Adomian分解法,来研究在一定初始条件下的高阶非线性Schr（?）dinger方程的基于行波的近似解.第六章,给出了本文的主要结果,提出了一些未来相关研究工作的设想.
二、浅水长波近似方程的显式精确解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、浅水长波近似方程的显式精确解（论文提纲范文）
（1）关于几类非线性波方程的精确行波解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子理论的发展历史 |
| 1.2 非线性波方程的求解方法简介 |
| 1.3 本文主要工作及研究成果 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 微分方程与动力系统 |
| 2.2 行波解的几种类型 |
| 2.3 奇非线性波方程的动力系统方法 |
| 第三章 广义二分量peakon型对偶方程的分支和精确行波解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 系统(3.21)的相图分支 |
| 3.2.1 g_1=0的情形 |
| 0的情形'>3.2.2 g_1>0的情形 |
| 3.3 系统(3.21)的行波解分类及其精确表达式 |
| 3.3.1 系统(3.21)的光滑孤立波解和伪孤立尖波解 |
| 3.3.2 系统(3.21)的孤立尖波解和反孤立尖波解 |
| 3.3.3 系统(3.21)的周期尖波解 |
| 3.3.4 系统(3.21)的破缺波解 |
| 3.3.5 系统(3.21)的光滑周期波解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 旋转Camassa-Holm方程的分支和精确行波解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 系统(4.7)的相图分支 |
| 4.2.1 f(Φ)有一个单根的情形 |
| 4.2.2 f(Φ)有一个重根的情形 |
| 4.2.3 f(Φ)有三个单根的情形 |
| 4.2.4 特殊情形a_0=0 |
| 4.3 系统(4.7)的行波解分类及其精确表达式 |
| 4.3.1 系统(4.7)的光滑周期波解和周期尖波解 |
| 4.3.2 系统(4.7)的孤立波解、周期尖波解和孤立尖波解 |
| 4.3.3 系统(4.7)的光滑孤立波解和破缺波解 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 非局域流体动力学方程的分支和精确行波解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 系统(5.4)的相图分支 |
| 5.2.1 系统(5.4a)的相图分支 |
| 5.2.2 系统(5.4b)的相图分支 |
| 5.3 系统(5.4)的行波解分类及其精确表达式 |
| 5.3.1 系统(5.4)的光滑孤立波解和周期波解 |
| 5.3.2 系统(5.4)的周期尖波解和伪孤立尖波解 |
| 5.3.3 系统(5.4)的破缺波解 |
| 5.3.4 系统(5.4)的不可数无穷多孤立波解、扭波和反扭波解 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 分数阶mKdV方程的分支和精确行波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 系统(6.7)的相图分支 |
| 6.3 系统(6.7)的行波解分类及其精确表达式 |
| 6.3.1 系统(6.7)的光滑周期波解 |
| 6.3.2 系统(6.7)的扭波和反扭波解 |
| 6.3.3 系统(6.7)的孤立波解 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（2）长水波近似方程的Painlevé分析与精确解（论文提纲范文）
| 1 长水波近似方程的Painlevé分析 |
| 2 长水波近似方程的Bcklund变换和精确解 |
| 3 结论 |
（3）非线性浅水波方程的分支问题与精确解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立波与孤立子 |
| 1.2 非线性波方程求解方法概述 |
| 1.2.1 B(?)cklund变换法和Darboux变换法 |
| 1.2.2 反散射方法 |
| 1.2.3 分离变量法 |
| 1.2.4 其他方法简介 |
| 1.3 研究奇非线性波方程的动力系统方法 |
| 1.4 非线性浅水波方程简介 |
| 1.5 本文的主要工作 |
| 第二章 Dullin-Gottwald-Holm方程的精确行波解和分支问题研究 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 系统(2.4)_±的相图分支 |
| 2.3 系统(2.4)_+所有行波解的分类以及系统(2.4)_+和(2.6)_+精确解的参数表达式 |
| 2.3.1 系统(2.4)_+的光滑孤立波解和伪孤立尖波解 |
| 2.3.2 系统(2.4)_+的光滑周期波解和周期尖波解 |
| 2.3.3 系统(2.4)_+的孤立尖波解 |
| 2.3.4 系统(2.4)_+的破缺波解和有界解 |
| 2.4 系统(2.4)_-所有行波解的分类以及系统(2.4)_-和(2.6)_-精确解的参数表达式 |
| 2.4.1 系统(2.4)_-的光滑孤立波解 |
| 2.4.2 系统(2.4)_-的光滑周期波解和周期尖波解 |
| 2.4.3 系统(2.4)_-的破缺波解 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 中度振幅浅水方程的精确行波解和分支问题研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 系统(3.4)的相图分支 |
| 3.3 系统(3.4)的行波解 |
| 3.3.2 c=-1时,系统(3.4)的行波解 |
| 3.3.4 c=c~*时,系统(3.4)的行波解 |
| 1时,系统(3.4)的行波解'>3.3.5 c>1时,系统(3.4)的行波解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 Burgers-αβ方程的精确行波解和分支问题研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 系统(4.6)的相图分支 |
| 4.3 当β≥0时,系统(4.6)的精确行波解 |
| 4.4 当β=-1/3时,系统(4.6)的精确行波解 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 Biswas-Milovic方程的精确行波解和分支问题研究 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 系统(5.6)的相图分支 |
| 0时,系统(5.6)的精确行波解'>5.3 当m=1,a>0时,系统(5.6)的精确行波解 |
| 0时,系统(5.6)的精确行波解'>5.5 当m=2,a>0时,系统(5.6)的精确行波解 |
| 5.7 本章小结 |
| 第六章 可积Li(?)nard系统的精确行波解和分支问题研究 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 方程(6.4)在Chiellini可积条件下的首次积分 |
| 6.3 可积广义阻尼sine-Gordon方程(6.7)行波解的动力学行为 |
| 6.4 单边势相互作用下的可积Burgers方程(6.8)行波解的动力学行为 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（4）广义BKP方程的行波解分支（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景 |
| §1.2 研究现状和研究意义 |
| §1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 非线性系统 |
| §2.1.1 孤立波 |
| §2.1.2 Hamilton 系统 |
| §2.1.3 非线性系统的平衡点及平衡点的稳定性 |
| §2.2 动力系统分支理论 |
| §2.2.1 利用动力系统分支理论研究方程行波解的基本思想 |
| §2.2.2 研究非线性波方程的动力系统方法 |
| §2.3 椭圆函数 |
| 第三章 广义 BKP 方程的相图分支 |
| §3.1 广义 BKP 方程的简化形式 |
| §3.2 广义 BKP 方程的相图分支 |
| §3.3 广义 BKP 方程的部分紧解、周期波解、孤立尖波解的精确参数表示 |
| §3.4 本章小结 |
| 第四章 广义 BKP 方程的光滑与非光滑行波解的存在性 |
| §4.1 广义 BKP 方程的紧解、孤子解、光滑周期解的存在性 |
| §4.2 广义 BKP 方程的周期尖波解的存在性 |
| §4.3 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| §5.1 总结本文的研究工作 |
| §5.2 将来所要做的工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在攻读硕士期间的主要研究成果 |
（5）非线性发展方程求精确解若干问题的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 序言 |
| 1.1 研究工作的背景及发展概况 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 第二章 修正的齐次平衡法及其应用 |
| 2.1 齐次平衡法和它的一些拓广 |
| 2.2 修正的齐次平衡法 |
| 2.3 三个重要方程的双线性方程 |
| 2.4 两个方程新的自Backlund变换和精确解 |
| 第三章 多参数行波解之分析 |
| 3.1 (G'/G)-展开法得到的行波解 |
| 3.2 新辅助方程方法得到的行波解 |
| 3.3 广义Riccati方程方法得到的行波解 |
| 第四章 辅助方程方法和tanh-coth方法 |
| 4.1 一些常用的直接代数方法 |
| 4.2 辅助方程解的分类及其应用 |
| 4.2.1 MKdV方程的三类孤立波解 |
| 4.2.2 (2+1)-维色散长波方程的精确解 |
| 4.3 tanh-coth方法的注记 |
| 第五章 广义幂-指函数法以及所揭示的解的关系 |
| 5.1 广义幂-指函数法 |
| 5.2 广义幂-指函数法应用实例 |
| 5.3 扭形孤波解和扭-钟形孤波解之间的关系 |
| 第六章 耦合Klein-Gordon方程的双周期解 |
| 6.1 广义射影Riccati方程方法 |
| 6.2 Klein-Gordon方程的八种双周期解 |
| 参考文献 |
| 读博期间发表文章目录 |
| 致谢 |
（6）几类非线性波动方程行波解分支的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性波动方程的发展历史 |
| 1.2 非线性波动方程的研究现状和研究意义 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 非线性波动方程的行波解 |
| 2.2 研究非线性波动方程的动力系统方法 |
| 2.3 Jacobi 椭圆函数 |
| 第三章 非线性色散 Drinfel’d-Sokolov(D(m,n)) 系统的行波解分支 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 系统(3-1-7)的相图分支 |
| 3.3 系统(3-1-1)的显式精确行波解 |
| 3.4 系统(3-1-1)光滑和非光滑行波解的存在性 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 广义 Camassa-Holm-KP 方程的行波解分支 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 系统(4-1-6)的相图分支 |
| 4.3 方程(4-1-3)的显示精确行波解 |
| 4.4 方程(4-1-3)的光滑和非光滑行波解的存在性 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 浅水长波近似方程的行波解分支 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 系统(5-1-6)的分支集与所有相图 |
| 5.3 系统(5-1-6)的显式精确行波解 |
| 5.4 方程(5-1-1)的光滑行波解存在性 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 本文研究工作的总结 |
| 6.2 对今后研究工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在攻读硕士期间的主要研究成果 |
（8）某些非线性发展方程的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 非线性发展方程及其孤立波解的基本理论综述 |
| 1.1.1 非线性发展方程及其孤立波解的简介 |
| 1.1.2 非线性发展方程及其孤立波解历史背景简介 |
| 1.1.3 非线性发展方程孤立波解的发展现状简介 |
| 1.2 非线性发展方程孤立波解的一些求解方法简介 |
| 1.2.1 截尾辅助函数法 |
| 1.2.2 齐次平衡法 |
| 1.2.3 Tanh函数法 |
| 1.2.4 B(a|¨)ckland变换简介 |
| 1.3 本文研究的主要内容和结构 |
| 2 (2+1)维非线性耦合可积广义Kaup方程的精确解的研究 |
| 2.1 (2+1)维非线性耦合可积广义Kaup方程的简介 |
| 2.2 (2+1)维非线性耦合可积广义Kaup方程精确解求解 |
| 2.3 结论 |
| 3 (2+1)维变系数非线性耦合可积广义Kaup方程的孤波解的研究 |
| 3.1 (2+1)维变系数非线性耦合可积广义Kaup方程的形式 |
| 3.2 (2+1)维变系数非线性耦合可积广义Kaup方程的孤波解的研究 |
| 3.3 结论 |
| 4 总结 |
| 参考文献 |
| 在学研究成果 |
| 致谢 |
（9）(2+1)维非线性耦合可积广义Kaup方程的精确解（论文提纲范文）
| 1 方程 (1) 的精确解 |
| 2 总结和讨论 |
（10）非线性波动方程的精确解及其孤子结构（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 课题研究的历史回顾 |
| §1.2 国内外研究概况 |
| §1.2.1 反散射方法 |
| §1.2.2 Darboux变换和B(a|¨)cklund变换 |
| §1.2.3 Painlevé分析法 |
| §1.2.4 Hirota 线性方法 |
| §1.3 本文研究内容概述 |
| §1.3.1 论文的主要工作 |
| §1.3.2 论文的结构安排 |
| 第二章 目标约化解和非线性方程的孤子模式 |
| §2.1 经典、非经典对称约化的理论 |
| §2.2 CK直接相似约化的基本思想 |
| §2.3 修正的CK直接法及其非传播孤子激发 |
| §2.4 目标约化解的基本理论 |
| §2.4.1 一般理论 |
| §2.4.2(2+1)维高阶Broer-Kaup方程组的目标约化解 |
| §2.4.3 变系数KdV-mKdV方程的目标约化解 |
| §2.5 本章小结 |
| 第三章 映射变换理论和非线性方程的孤子,混沌与分形 |
| §3.1 一般理论 |
| §3.2(2+1)维色散长波方程组的映射变换解 |
| §3.3(2+1)维广义BK方程组的新映射变换解 |
| §3.4 映射变换在其它偏微分方程中的应用 |
| §3.4.1(1+1)维非线性Schr(o|¨)dinger方程组的映射变换解 |
| §3.4.2 修正的(2+1)维色散水波方程组的映射变换解 |
| §3.4.3(2+1)维Nizhnik-Novikov-Veselov方程组的映射变换解 |
| §3.5(2+1)维色散长波方程组的孤子、混沌与分形 |
| §3.5.1(2+1)维色散长波方程组中的孤子及其相互作用 |
| §3.5.2(2+1)维色散长波方程组中的混沌与分形 |
| §3.6 本章小结 |
| 第四章 多线性分离变量法和非线性方程的孤子结构 |
| §4.1 几种分离变量法的简单介绍 |
| §4.2 多线性分离变量法的一般理论 |
| §4.3(1+1)维浅水波方程的变量分离解及其孤子结构 |
| §4.4(2+1)维mBK方程组的变量分离解 |
| §4.5 一些(2+1)维物理方程组的变量分离解 |
| §4.5.1(2+1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程组的变量分离解 |
| §4.5.2(2+1)维高阶Broer-Kaup方程组的变量分离解 |
| §4.5.3 其它几个着名的(2+1)维方程组的变量分离解 |
| §4.6(3+1)维Burgers方程组的变量分离解 |
| §4.7 本章小结 |
| 第五章 基于行波约化的非线性方程的解 |
| §5.1 微分-差分系统的双曲函数法 |
| §5.1.1 一般理论 |
| §5.1.2 双曲函数法在非线性离散系统中的应用 |
| §5.1.3 双曲函数法的推广及其在非线性离散系统中的应用 |
| §5.2 非线性Schr(o∣¨)dinger方程基于行波约化的代数解 |
| §5.3 HONLS方程基于行波的Adomian分解法 |
| §5.4 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| §6.1 主要研究成果 |
| §6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间以第一作者发表的论文 |
| 致谢 |
四、浅水长波近似方程的显式精确解（论文参考文献）
- [1]关于几类非线性波方程的精确行波解研究[D]. 梁建莉. 浙江师范大学, 2021(02)
- [2]长水波近似方程的Painlevé分析与精确解[J]. 陈南. 厦门理工学院学报, 2020(03)
- [3]非线性浅水波方程的分支问题与精确解研究[D]. 朱文静. 浙江师范大学, 2018(01)
- [4]广义BKP方程的行波解分支[D]. 周博文. 桂林电子科技大学, 2012(08)
- [5]非线性发展方程求精确解若干问题的研究[D]. 刘春平. 扬州大学, 2011(04)
- [6]几类非线性波动方程行波解分支的研究[D]. 张克磊. 桂林电子科技大学, 2010(02)
- [7]浅水长波近似方程的行波解分支[J]. 张克磊,唐生强,王兆娟. 扬州大学学报(自然科学版), 2009(02)
- [8]某些非线性发展方程的精确解[D]. 何仁国. 北方工业大学, 2009(09)
- [9](2+1)维非线性耦合可积广义Kaup方程的精确解[J]. 何仁国,孙福伟. 北方工业大学学报, 2008(03)
- [10]非线性波动方程的精确解及其孤子结构[D]. 马正义. 上海大学, 2008(01)