一、变系数对流-扩散方程的交替分段Crank-Nicolson方法（论文文献综述）
王星驰[1]（2021）在《基于修正SPH方法时/空分数阶对流扩散方程的数值研究》文中进行了进一步梳理由于分数阶导数的长时记忆性和非局部特性,使其能更精确地描述具有记忆和遗传性质的粘弹性材料或流变学的非线性动力学行为,该非线性行为常用时间或空间分数阶对流扩散方程来描述。然而,分数阶导数或非线性部分的复杂性,使得许多情况下很难用解析手段获得分数阶方程的理论解。因此,学者们开始广泛关注分数阶对流扩散方程的数值方法,比如网格类的有限差分法和有限元法等。但基于网格的数值方法在处理复杂非规则区域问题或局部加密实施时存在诸多困难。于是,近些年来完全不依赖于网格的纯无网格法—光滑粒子流体动力学（SPH）方法,以其任意布点或易处理非规则区域问题的优点在计算力学领域普遍受到广泛关注成为一种新的计算方法,且其在求解分数阶对流扩散方程问题上还未见相关文献报道。直接将传统SPH方法应用到分数阶对流扩散问题的求解时存在精度低和稳定性差的缺陷,需要进一步对其修正发展一种稳定准确的纯无网格算法。基于上述分析,本文首先将一阶导数核梯度修正SPH（CSPH）方法与Caputo时间分数阶差分格式耦合,对常/变数时间分数阶对流扩散方程（TF-CDE）进行数值研究;其次,将Riemann-Liouville分数阶导数的积分离散格式与CSPH格式结合,首次推导了一种能够准确求解时间依赖空间分数阶对流扩散（SF-CDE）方程的纯无网格离散格式（CSPH-SFCD）,并运用其对空间分数阶Burgers方程进行了数值模拟研究。本文主要研究内容如下:（1）将CSPH方法与基于Caputo时间分数阶导数离散差分格式（FDM）进行耦合,给出一种能够准确求解常/变数TF-CDE的纯无网格CSPH-FDM法。为校验CSPH-FDM离散格式的数值收敛阶,对带Neumann边界有解析解的一维或二维常/变数TF-CDE进行了误差分析;为体现其灵活应用性,讨论了局部加密和复杂非规则区域问题的模拟结果;数值结果表明提出的纯无网格法具有较好的二阶精度和灵活推广应用性。（2）运用CSPH-FDM对无解析解TF-CDE进行模拟,并与其他结果作对比,成功预测了溶质随时间演化的过程。（3）将一种积分格式与CSPH公式结合,对基于Riemann-Liouville的单、双边空间分数阶导数进行离散,首次给出一种针对时间依赖SF-CDE方程准确求解的不依赖于网格的CSPH-SFCD离散方法。通过对一维/二维的单/双边空间分数阶对流扩散方程的求解,并与解析解进行了数值收敛性分析;模拟中也讨论了纯无网格法在非矩形区域或局部加密情况下的灵活应用优点。（4）运用上述的CSPH-SFCD与迎风格式耦合,对非线性的空间分数阶Burgers问题进行了数值模拟预测,并与有限差分结果作对比。数值结果表明本文提出的纯无网格法模拟复杂SF-CDE问题是有效可靠的。
蹇焕燕[2]（2021）在《几类分数阶微分方程的快速数值算法研究》文中研究表明分数阶方程作为整数阶方程的推广,近年来被广泛用于建模各种物理和科学现象。由于分数阶算子的非局部性,分数阶模型能更精确地描述具有遗传和记忆性质的材料和过程。大多数分数阶方程的解析解都不易确定,所以一般研究其数值方法。此外,分数阶算子的离散通常导出稠密矩阵,这也造成了极大计算困难。因此,发展其高性能算法也是十分迫切的。本文工作主要分为以下四个方面:1.针对时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程,提出了一个快速隐式差分格式。首先通过数值积分,将该方程转换为一个多项时空分数阶方程。然后提出一个隐式差分格式来求解这个多项时空分数阶方程,并讨论它的无条件稳定性和收敛性。另外,发展了预处理的Krylov子空间算法来计算导出的Toeplitz-like线性系统。最后数值实验结果支持了理论发现,并验证了算法的有效性。2.针对时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程,建立了一个快速二阶差分格式。利用加权位移Gr¨unwald公式离散时间导数和分数阶中心差分公式离散空间导数,从而导出差分格式。另证明了该格式在时间、空间和分布阶上的稳定收敛性。一维时,提出基于Gohberg-Semencul公式的预处理Krylov子空间算法来计算Toeplitz系统。二维时,构建带截断预处理子的全局预处理共轭梯度法来求解Sylvester系统。数值实验结果验证了提出差分格式和快速算法的有效性。3.针对非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,发展了一个快速隐式积分因子方法。首先利用分数阶中心差分公式空间离散该方程,得到一个非线性常微分方程系统。其次,为获得良好的稳定性和鲁棒性,采用隐式积分因子方法求解该系统。另外,为了降低计算量,考虑到系数矩阵是对称正定Toeplitz的,提出了基于Gohberg-Semencul公式的位移-逆Lanczos方法来计算指数矩阵-向量乘积。最后用数值实验证实了理论结果的正确性,并验证了快速求解算法的有效性。4.针对二维的非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,提出了一个非均匀网格的快速紧隐式积分因子方法。利用加权位移Gr¨unwald-Letnikov方法对该方程空间离散后,得到一个矩阵形式的非线性常微分方程系统。鉴于紧隐式积分因子方法的稳定性,将其与非均匀时间网格和对角化技术结合,构建了一种非均匀时间网格的快速紧隐式积分因子方法。与已有方法相比,该方法避免了直接计算稠密指数矩阵并显着降低了计算成本。数值实验也验证了提出方法的有效性。
赵永良[3]（2021）在《时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究》文中进行了进一步梳理分数阶微积分至今已在粘弹性力学、系统控制、图像处理和金融工程等诸多领域取得重要应用,但令人遗憾的是只有少数分数阶偏微分方程能够求得解析解。因此,分数阶偏微分方程的数值解法受到许多学者的关注。由于分数阶微分算子的非局部性,分数阶偏微分方程的数值离散系统往往是稠密的,这使得传统解法的求解效率大幅降低。因此,开发出高效、可靠的算法来求解这些离散系统具有重要意义。针对几类分数阶偏微分方程的数值离散系统,本文将挖掘和利用其结构性质来设计高效的快速求解策略,主要内容可概括如下:1.分别对一维和二维的带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程引入有限差分格式,并证明它们的稳定性和收敛性。根据二维离散系统的结构,设计出相应的快速求解算法。数值实验被用于验证所提数值格式和快速算法的有效性。2.由时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的研究。在时间分数阶移动/固定对流-扩散方程方程的有限差分格式基础上,将所有时间层的数值解排列成一个列向量,这样便会得到一个一次性系统。通过对此系统进行求解,所有时间层的数值解可以同时获得。根据此一次性系统的系数矩阵结构,设计出两种预处理子来加速Krylov子空间方法对它的求解。此外,还对这两种预处理子的一些性质进行讨论。数值实验被用来验证所提快速算法的有效性。3.建立时空分数阶对流-扩散方程的有限差分格式,并证明它的稳定性和收敛性。此外,还将此离散技术推广到求解非线性的时空分数阶对流-扩散方程。通过使用Krylov子空间方法来求解此离散系统,能够快速获取时空分数阶对流-扩散方程的数值解,并且设计出一种循环预处理子来加速Krylov子空间方法的收敛。数值实验结果表明这快速算法比传统的直接解法更加高效。4.关于由时空分数阶扩散方程导出的一次性系统的研究。基于该一次性系统的特殊结构,采用Krylov子空间方法对该系统进行求解,并设计预处理子来加速其收敛。在该预处理子的求逆中,会涉及到Toeplitz矩阵求逆。利用一种Toeplitz矩阵求逆公式来计算此Toeplitz矩阵的逆,并提出一个预处理子对其进行加速。数值实验结果表明所提的快速算法对求解此类一次性系统是十分有效且可靠的。
杨录峰[4]（2021）在《几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究》文中研究说明谱方法因其具有谱精度,被广泛的用于各种问题的数值求解之中,但对于奇异摄动问题,经典谱方法需要大量节点才能刻画边界层的变化规律,得到高精度的数值解.为了改善奇异摄动问题数值模拟的效率,一部分学者从减轻问题的奇异性出发,将问题的解分解为正则分量和奇异分量分别求解;另一部分致力于改进数值方法,使网格节点更多的向边界层聚集,以适应奇异摄动问题求解的需要.本文结合这两类处理方法的优点,提出了基于奇异分离技术的谱方法.第一章介绍了奇异摄动问题的研究背景、研究进展以及本文的研究问题和主要工作.第二章考虑二阶奇异摄动问题,首先利用渐近展开理论结果预先确定边界层的位置和宽度,即确定sinh变换的参数,使Chebyshev-Gauss-Lobatto节点向边界层聚集,然后利用奇异分离技术将奇异摄动问题分解为弱奇异辅助边值问题和确定边界层校正函数的问题.利用含sinh变换的有理谱方法求解弱奇异摄动边值问题,得到解的正则分量,利用边界条件和问题的特征值,显式确定奇异校正函数,并给出了误差估计式.对于变系数问题,利用奇异摄动分离构造校正函数,然后利用谱方法求解正则分量及奇异分量的待定参数,进而组合得到原问题的数值解,最后通过数值实验,验证理论结果.第三章考虑二阶奇异摄动方程组问题,利用基于奇异分离技术的有理谱方法分别求解弱耦合反应扩散问题和强耦合对流扩散问题,分别推导并证明了通解表达式,然后应用有理谱方法求解弱奇异摄动问题确定原问题的一个特解,并利用边界条件确定了奇异校正函数的显式表达式,并证明了该方法当很小时几乎达到谱精度.对于变系数奇异摄动方程组,我们同样利用系数矩阵的特征值和相应的特征向量构造校正函数刻画奇异分量,然后利用谱方法求解弱奇异方程组,得到正则分量与奇异分量的参数,组合奇异分量与正则分量得到问题的解.最后利用数值算例验证了理论分析的结果.第四章考虑含不连续源项或界面条件的奇异摄动问题的数值模拟.将整个区间上的奇异摄动问题分解为左、右子问题,然后对每个子问题采用有理谱方法求解弱奇异性问题确定正则分量,利用边界条件和界面条件确定奇异校正函数的参数,最后利用缝接法得到原问题的解.数值实验验证了该方法能够高精度的求解此类问题.第五章对于抛物型奇异摄动问题和时间分数阶奇异摄动问题.利用Laplace变换法将非定常微分方程变换为频域上的关于空间变量的常微分方程边值问题,然后利用基于奇异分离技术的谱方法求解含参数的奇异摄动边值问题,利用最后利用Talbot方法,数值求解逆Laplace变换得到原问题的数值解.Laplace变换的使用规避了时间演进中对时间步长的限制要求.数值实验验证该方法具有高精度.
谢悦[5]（2020）在《浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用》文中认为在处理突发水污染环境事件中,污染物在河流中的分布情况可以用对流扩散方程来描述。同样很多其他环境相关的问题也都可以转化为对流扩散方程的问题进行分析和解决。因此,对流扩散方程在环境监测以及对污染物的预测和处理领域有着十分重要的意义。但是,很多对流扩散方程问题难以找到解析解,需要对其进行数值求解,而对于突发性水污染事件而言,精确的通过数值计算得到污染物精确扩散位置以及浓度的同时,时效性也是不可或缺的。针对浓度对流扩散方程的数值求解问题,本文主要研究内容如下:文章的第一部分首先针对浓度对流扩散方程进行高精度离散,对内点构造两层八点隐格式,进而,构造与内点格式精度相匹配的边界层差分格式,对浓度对流扩散方程的时间和空间项分别进行相应阶数的泰勒展开,使用待定系数法求出差分格式的差分系数,得到浓度对流扩散方程内点以及边界的时间三阶,空间六阶精度隐式差分格式。进而,对一般情况下的一维高精度差分格式进行Von Neumann稳定性分析,随后对相应算例进行数值验证。最终证明了本文构造的所有格式均满足时间三阶,空间六阶的精度要求,且在一定条件下稳定,稳定性范围宽广,同时一定范围内可以高精度计算对流系数较大的对流占优扩散方程问题。文章的第二部分首先基于第一章构造的高精度差分格式对所得到的三对角方程组提出了一种新的并行计算方法。在p个计算机处理核心分组并行处理的基础上可以并行计算,使得整体并行计算的效率更高,数值算例表明:该并行方法简单易行,解决了隐格式的不易并行计算的问题,并且加速效果随着空间节点总数以及分组数的增加变得更加明显,加速比和方程分块数基本满足线性关系,在保持高精度求解的基础上实现了优良的并行效果。值得注意的是在求解过程中,组与组交叉的未知量可以形成块三对角方程,同样可以使用该方法进行并行计算,可以更大程度上的提高并行求解的效率。因此,本文提出的并行方法适用于二维乃至更高维度的对流扩散方程的并行计算,本文以二维对流扩散方程数值求解为例,给出了本方法和串行方法的计算时间对比分析。加速效果随着空间节点总数以及分组数的增加变得更加明显,且能够很好的保持求解过程的精度需求。文章第三部分对并行计算过程中使用的并行语句进行深入分析,揭示了其循环中的系统周转时间、循环控制和计算规模对于计算效果的影响,通过采用内存映射的方法,高效访问磁盘上由于太大而无法保留在内存中或需要花太长时间而无法加载的大数据集,解决了大型矩阵的数据通讯时间影响整提计算速度的问题。利用MEX混合编译和MATLAB的扩展特性,同时结合C语言进行编码,将计算中的大型循环计算使用C/C++和MATLAB混合编译来完成。高效提升求解大型三对角方程时的并行效果。文章第四部分给出了本文所构造的高精度差分格式在实际环境问题中的应用。分别以上游围油栏作为第一类固定边界,下游收油装置作为第一类移动边界,模拟对河道溢油事故的处理过程。通过采用本文构建的一维浓度对流扩散方程高精度差分格式,数值模拟了溢油发生时,围油栏和收油装置作处理装置时溢油浓度的变化。
张梦真[6]（2020）在《分数阶对流扩散方程高精度有限差分格式研究》文中研究说明近年来,分数阶微分方程等相关问题因其重要的实际应用背景变成数学界专家学者们探讨的重点。然而分数阶导数具有时间层数和空间长度依赖性,通常情况下此类方程的精确解必须使用十分复杂的级数才能表示,因此深入探索合理可行的数值处理办法解决相关问题的现实意义十分重大。文章深入探究一维和二维具有可变系数的单边空间分数阶对流扩散方程,此类问题出现的实际背景是粒子等在物理系统里的一种反常扩散现象。我们考虑Riemann-Liouville（RL）定义的分数算子,在相关有限差分方法的现存文献中,针对这种定义的处理方式大多是基于经典和移位的r（5）（5）Letnikov-nwaldu G公式,其他算法比较少见。于是本文基于线性样条插值推导出在时间和空间上均具有二阶精度的有限差分方法。与此同时,本文也首次用一种无网格算法,也就是光滑粒子流体动力学（SPH）方法对单边空间分数阶对流扩散方程进行数值计算,现有文献中,还没有出现用SPH方法处理这类方程的。本文的主要工作:首先基于线性样条插值进行半离散,给出具有二阶精度的RL空间分数阶导数的数值离散化,再考虑Crank-Nicolson（CN）思想处理时间导数得到全离散的数值模型,记作SCN方法。应用SCN方法对这类单边分数阶方程进行数值计算,最终得到一维和二维情形下的离散模型。其中,二维情形下的SCN模型需要用交替方向隐式给出计算。分析该算法的相容性,用傅里叶分析方法证明数值稳定性,在理论上证明了SCN方法在时间和空间上均具有二阶精度,且是无条件稳定的。在对SPH方法的介绍中,分别以传统对流方程和扩散方程为例,给出求解SPH方程的具体离散并应用到本文所研究的空间分数阶方程中。最后进行数值实验,选取有解析解的数值算例对比了SCN方法和SPH方法的数值结果,并模拟无解析解的分数阶方程的变化趋势,得到了方法可行的相关结论。
刘子婷[7]（2020）在《空间分数阶偏微分方程的非标准有限差分方法研究》文中进行了进一步梳理本文主要研究了三类空间分数阶偏微分方程的非标准有限差分解法,并讨论了非标准有限差分格式的稳定性以及收敛性,最后通过数值算例证明了结果的准确性.本文共有四章,结构安排如下:第一章介绍了空间分数阶偏微分方程和非标准有限差分法的发展历史、课题研究背景和意义,并对国内外的一些研究现状进行了分析.第二章构造了空间分数阶扩散方程的非标准有限差分格式,然后使用Fourier转换法证明了该格式是稳定的.数值实验表明分母函数的构造形式是多样的,通过使用不同的分母函数可以降低最大误差,进而验证了非标准有限差分法的有效性.第三章研究了空间分数阶对流-扩散方程的非标准有限差分解法,利用带位移的Grünwald-Letnikov公式离散空间分数阶导数,用含有步长的分母函数去代替离散格式中的分母构造出非标准有限差分格式.接着使用Fourier转换法讨论了该差分格式的稳定性.在数值算例中,通过对比实验数据表明选取合适的分母函数可以减小最大误差.第四章结合Crank-Nicolson差分法和非标准有限差分法对空间分数阶热方程进行了数值研究,采用Grünwald-Letnikov公式和带位移的Grünwald-Letnikov公式离散两个空间分数阶导数构造非标准有限差分格式,并利用Fourier转换法分析了该格式的稳定性.数值算例不仅验证了结论的正确性,还说明通过构造合适的分母函数可以减小最大误差从而提高精度.最后总结了本文的研究内容并对将来的工作进行了展望.
徐亚男[8]（2020）在《对流扩散方程间断Galerkin方法的稳定性分析与负模估计》文中认为间断Galerkin（DG）方法作为一种高分辨率偏微分方程数值解法,因其具有可以达到任意高阶的精度、处理复杂边界问题的灵活性、h-p自适应性以及可证明的L2稳定性等特点,在数值计算中有着非常广泛的应用。因此,对于间断Galerkin方法的研究有着十分重要的意义。本文主要研究了对流扩散方程间断Galerkin方法的稳定性分析与负模估计。论文首先介绍了间断Galerkin有限元空间的基本性质,并针对热传导方程,证明了二阶显式TVD Runge-Kutta间断Galerkin方法的全离散格式在差商下具有L2稳定性。然后针对非线性对流扩散方程,利用Taylor展开线性化的方法处理非线性数值通量,证明了当使用迎风型数值通量时,DG误差的α阶差商在L2范数下可以达到k+3/2-α/2阶收敛精度。并进一步利用对偶论证法,证明了 DG误差的差商在负模下能够达到2k+3/2-α/2阶超收敛精度,证明将后处理理论应用到非线性对流扩散方程中,后处理解至少可以获得3k/2+1阶的超收敛精度,数值实验验证了理论结果的正确性。最后研究了变系数对流扩散方程的负模估计问题,类似于非线性方程的证明思路,证明了 DG误差的差商在L2范数下可以达到k+1阶精度,进而在负模下可以得到2k+1阶超收敛精度,最终证明了后处理数值解的收敛精度也为2k+1阶,并通过数值实验进一步验证了理论结果。
张慧[9]（2019）在《分数阶偏微分方程的谱方法及其应用》文中研究表明近几十年来,分数阶微积分理论作为一种新颖的数学工具,被广泛的应用于物理、化学、生物、金融、工程等诸多领域,分数阶模型对复杂环境中所涉及的记忆性、遗传性、非局部性、路径依赖性提供更为深刻全面的阐释。但是分数阶算子的复杂性和非局部性给分数阶模型的求解带来了诸多的困难,利用数值方法对分数阶模型进行求解日趋成熟。已经有很多学者对分数阶模型的数值求解进行了研究。谱方法作为一种求解偏微分方程的数值方法,具有高效高精度的特点,但由于谱方法对基函数和初边值条件的要求的特殊性,目前用谱方法解决分数阶偏微分方程的研究还相对较少。此外,整数阶模型的参数估计问题研究已经相对成熟,但分数阶模型还缺乏相对可行的参数估计的方法。本文主要研究几类分数阶偏微分方程的谱方法和参数估计问题以及相关的应用。本文中针对一维时间-空间分数阶Fokker-Planc.k方程,我们提出了时空谱方法进行求解,并给出了稳定性和收敛性分析,此外,我们用Levenberg-Marquardt（L-M）方法对方程进行参数估计研究。其次,对于二维Riesz空间分布阶对流扩散方程,我们提出了精度高于中点公式的高斯求积公式,利用该公式对空间分布导数进行离散,通过Crank-Nicolson交替方向Legendre谱方法得到其数值解,并证明了半离散格式和全离散格式的稳定性和收敛性。第三,我们研究了一维非线性耦合的空间分数阶薛定愕方程,利用Legendre谱方法得到数值解,给出相关的理论分析,并在正问题数值解的基础上,率先采用贝叶斯方法对方程中的相关参数进行了估计。第四,对于一维时间分数阶Boussinesq方程,我们给出了Fourier谱方法进行逼近,证明了数值方法的稳定性和收敛性。第五,对于高维的非线性偏微分方程,在理论分析中会出现时间步长的限制条件,针对这个问题,我们研究了二维的非线性时间分数阶流动/不流动对流扩散方程的谱方法,基于误差分裂方法得到了无时间步长限制条件的误差估计,并提出了一种新的快速计算方法来降低存储空间和计算时间,利用修正方法来处理方程不光滑解的情形。最后,我们发展了二维非线性空间分数阶反应扩散方程的稳定的二阶半隐Fourier谱方法。采用时间-空间误差分裂技术,得到了数值格式的最优误差估计。并对该半隐方法的线性稳定性进行了分析,得到了一个选择时间步长的实用准则。具体地:第一章,我们首先简要介绍分数阶微积分的产生及发展历程,并给出本文中用到的几种分数阶导数的定义形式。然后,简单的概述本文的主要研究内容。第二章,针对一维时间-空间分数阶Fokker-Planck方程,我们提出一种时空谱方法。在时间上,利用Jacobi多项式进行离散,在空间上,利用Legendre多项式进行逼近。证明了数值格式的稳定性和收敛性,并给出了详细的数值实现过程。此外,我们利用L-M方法对方程中的时间分数阶导数阶数α和空间分数阶导数阶数2β进行了估计。数值算例给出了数值格式在时间和空间上不同范数下的误差和收敛阶,数值解与解析解的图像吻合的非常好,这说明我们给出的时空谱方法对于求解一维时间-空间分数阶Fokker-Planck方程是有效的。为了验证L-M方法的有效性,我们给出了无噪数据和有限水平的噪音数据,讨论了各个初始参数值的选取对估计结果的影响,发现了不同的初始参数值对于估计的结果影响很小,而随着噪音数据水平的提高,估计结果会有微小误差,表明L-M方法对方程的参数估计是可行的。第三章,我们研究了二维Riesz空间分布阶对流扩散方程。提出了比中点公式精度更高的高斯求积公式,利用该公式对空间分布导数进行离散,则方程可以转化为多项的空间分数阶方程。通过Crank-Nicolson交替方向Legendre谱方法得到方程的数值解,在时间方向上利用Cank-Nicolson差分方法进行离散,空间方向上采用Legendre谱方法离散,并证明了半离散格式和全离散格式的稳定性和收敛性,最后我们给出两个数值算例,第一个数值算例呈现了数值格式的收敛阶,以及数值解与解析解的图像,说明了数值方法的有效性,并且比较了高斯求积公式和中点公式的精度和收敛阶来论证高斯求积公式的精度是优于中点公式的。第二个数值算例是基于相关的研究背景给出,我们主要讨论了相关系数对方程解的影响,以及Riesz空间分布阶对流扩散方程和Riesz空间分数阶对流扩散方程之间的区别和联系。第四章,我们发展了一维非线性耦合的空间分数阶薛定谔方程的谱方法,给出了数值实施过程,利用Crank-Nicolson差分方法来离散时间,通过Legendre谱方法对空间进行逼近,证明了质量守恒和能量守恒定律以及数值格式的收敛性。在数值解的基础上,我们率先采用了贝叶斯方法对方程的空间分数阶导数阶数α,非线性项的系数ρ和β进行了估计。最后给出了三个数值算例,第一个数值算例给出了数值格式的收敛阶,并说明了初始参数值的变化对估计结果没有太大的影响,随着最大迭代次数的增加,估计结果的精度会变得越来越好,从而验证了数值方法和贝叶斯方法的有效性。第二个数值算例给出了非线性耦合的空间分数阶薛定谔方程解的相关性质,讨论了该模型的应用。第三个数值算例通过给方程加入源项,进一步论证了数值格式的可行性。第五章,我们考虑了具有周期边界条件的一维时间分数阶Boussinesq方程,此模型通常用来描述水平尺度远大于水深的地表水波。时间方向上采用了L2方法进行离散,空间方向上给出Fourier谱方法进行数值求解,并证明了数值格式的稳定性和收敛性。最后给出两个数值算例来验证理论分析,第一个数值算例给出了数值格式的误差、收敛阶和CPU时间,模型数值解与解析解的图像也是很吻合的,验证了所提出的谱方法的有效性。第二个数值算例呈现出相关的模型解的性质,并分析了方程中参数对解的影响,以上结果表明我们所提出的数值方法对所研究的方程是行之有效的。第六章,对于高维的非线性偏微分方程,由于非线性项的存在,理论分析会出现依赖于空间网格的时间步长的限制条件,我们研究了二维的非线性时间分数阶流动/不流动对流扩散方程的谱方法,假设方程的初始条件为0（当不为0时,可以通过变换使其变为0）,方程的Caput.o分数阶导数就等价于Riemann-Liouville分数阶导数,我们利用加权移位Griinwald-Let.nikov差分方法离散时间分数阶导数,此种方法可以将时间方向上的收敛阶提高到二阶,空间方向考虑利用Legendre谱方法,并且处理了非齐次的边界条件。对于高维方程以及长时间计算问题,我们在数值实施过程中提出了一种新颖的快速计算方法来降低存储空间和计算时间。此外,我们基于误差分裂方法得到了无时间步长限制条件的误差估计,在理论分析方面有了突破。考虑到时间分数阶偏微分方程在t=0处常常伴有奇性,并且解在此处的正则性较差,我们通过修正方法来处理这种情形。最后呈现了三个数值算例,第一个和第二个数值算例分别带有齐次和非齐次边界条件,解都是光滑的,我们给出了数值格式的收敛阶和误差,并展示了快速计算方法和直接计算方法在计算时间上的差异以及两种方法最后求得数值解之间的误差,结果验证了数值方法和快速计算方法的有效性。第三个数值算例,解是不光滑的,呈现了不同个数的修正项的精度和收敛阶,证明了修正方法的可行性。第七章,我们研究了分数阶拉普拉斯算子描述的二维非线性空间分数阶反应扩散方程的稳定的二阶半隐Fourier谱方法。时间方向上利用半隐的二阶差分格式,并加上稳定项来提高稳定性,空间方向上采用Fourier谱方法。通过时间-空间误差分裂技术,在不施加步长限制条件的情况下,得到了数值格式的最优误差估计。并对该半隐方法的线性稳定性进行了分析,得到了一个选择时间步长的实用准则,以保证半隐方法在实际应用中的稳定性。我们的方法是通过解决几个实际感兴趣的问题来说明的,包括分数阶Allen-Cahn、Gray-Scott模型和FitzHugh-NNagumo模型。最后呈现了三个数值算例,第一个数值算例给出了数值格式的误差和收敛阶,验证了所提出的谱方法的有效性。第二个和第三个数值算例分别考虑了空间分数阶Gray-Scott模型和空间分数阶FitzHugh-Nagumo模型,给出了相关的解的相关性质,讨论了该模型的应用。第八章,我们给出本文的总结和未来可能的研究方向。
邵京[10]（2019）在《分数阶发展方程的若干高效差分方法》文中研究表明分数阶发展方程的数值模拟是近几年的新兴热点问题。本学位论文重点研究双项时间分数阶慢扩散方程和时间分数阶对流-扩散方程,首先,构造两类分数阶发展方程的显-隐（Explicit-Implicit,E-I）和隐-显（Implicit-Explicit,I-E）差分格式,基于古典显格式与古典隐格式在时间层上的交替构造出的差分格式。从理论出发证明了格式解的存在唯一性,稳定性和收敛性,并在给定网格点数的条件下进行数值试验,试验表明E-I格式和I-E格式不仅具有良好计算精度,无条件稳定,而且可以把计算速度提高28%,是一种有效可行的串行差分方法。其次,在显-隐格式构造思想的基础上,结合分段交替技术,针对时间分数阶对流-扩散模型构造其具有并行本性的分段交替纯显-隐（pure alternative segment explicit-implicit,PASE-I）和分段交替纯隐-显（pure alternative segment implicit-explicit,PASI-E）差分格式。从理论分析和数值试验两个角度出发,对PASE-I和PASI-E格式解的存在唯一性,无条件稳定性以及空间二阶、时间2-α阶收敛性进行讨论分析,表明PASE-I格式和PASI-E格式具有显着的并行计算性质。理论分析和数值试验表明,E-I和I-E格式及PASE-I和PASI-E格式对于求解双项时间分数阶慢扩散方程和时间分数阶对流-扩散方程两类模型是高效的。
二、变系数对流-扩散方程的交替分段Crank-Nicolson方法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、变系数对流-扩散方程的交替分段Crank-Nicolson方法（论文提纲范文）
（1）基于修正SPH方法时/空分数阶对流扩散方程的数值研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 SPH方法的研究现状 |
| 1.2.2 时空分数阶微分方程的研究现状 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 本文主要研究内容 |
| 第二章 SPH方法介绍 |
| 2.1 传统SPH方法 |
| 2.1.1 传统SPH方法的基本方程 |
| 2.1.2 光滑核函数的性质及常用形式 |
| 2.1.3 最近相邻粒子搜索法 |
| 2.1.4 SPH方法核近似精度分析 |
| 2.2 修正SPH方法的离散格式 |
| 第三章 时间分数阶对流扩散方程的数值研究 |
| 3.1 常/变数时间分数阶对流扩散方程(TF-CDE) |
| 3.2 时间分数阶对流扩散方程的CSPH-FDM离散格式 |
| 3.3 数值误差及收敛性 |
| 3.4 算例分析 |
| 3.4.1 一维时间分数阶对流扩散方程 |
| 3.4.2 二维常数阶时间分数阶对流扩散方程 |
| 3.4.3 二维变数阶时间分数阶对流扩散方程 |
| 3.5 时间分数阶对流扩散方程的数值模拟 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 空间分数阶对流扩散方程的数值研究 |
| 4.1 空间分数阶对流扩散方程(SF-CDE) |
| 4.1.1 单、双边空间分数阶对流扩散方程 |
| 4.1.2 空间分数阶Burgers方程(SFBE) |
| 4.2 空间分数阶对流扩散方程的CSPH-SFCD离散格式 |
| 4.2.1 空间分数阶导数项积分近似 |
| 4.2.2 时间导数项离散 |
| 4.3 算例分析 |
| 4.3.1 一维有精确解算例 |
| 4.3.2 二维有精确解算例 |
| 4.4 数值模拟 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 主要创新点 |
| 5.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（2）几类分数阶微分方程的快速数值算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 缩略词表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 分数阶导数的定义与性质 |
| 1.3 分数阶方程的常见数值算法 |
| 1.4 研究内容及创新点 |
| 1.5 本文结构安排 |
| 第二章 时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程的快速隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 数值格式 |
| 2.2.1 数值格式的推导 |
| 2.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 2.3 快速算法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程的快速二阶隐式差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值格式 |
| 3.2.1 数值格式的推导 |
| 3.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 3.3 快速算法 |
| 3.3.1 一维情况 |
| 3.3.2 二维情况 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速隐式积分因子法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数值格式 |
| 4.2.1 空间半离散 |
| 4.2.2 隐式积分因子法 |
| 4.3 快速算法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 二维非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速紧隐式积分因子法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 数值格式 |
| 5.2.1 空间半离散 |
| 5.2.2 快速紧隐式积分因子法 |
| 5.3 线性稳定性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（3）时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 时间和时空分数阶偏微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.1.1 时间分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.1.2 时空分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 本文研究动机与主要内容 |
| 第二章 带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程的二阶隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 方程(2-1)的一种隐式差分格式 |
| 2.2.1 二阶差分格式 |
| 2.2.2 稳定性分析与误差估计 |
| 2.3 方程(2-1)的二维情形 |
| 2.3.1 方程(2-1)的一个隐式差分格式 |
| 2.3.2 数值离散格式(2-11)的稳定性和收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 一维问题 |
| 2.4.2 二维问题 |
| 2.4.3 预处理迭代法求解(2-11) |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的预处理迭代算法研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 有限差分离散和一次性系统 |
| 3.2.1 时间步进格式 |
| 3.2.2 一次性系统 |
| 3.3 两个预处理子 |
| 3.3.1 块二对角预处理子 |
| 3.3.2 块阶梯预处理子 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时空分数阶对流-扩散方程的一种快速二阶隐式差分逼近 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时空分数阶对流-扩散方程的一个隐式差分格式 |
| 4.2.1 时空分数阶对流-扩散方程的数值离散 |
| 4.2.2 隐式差分格式的稳定性和收敛性分析 |
| 4.2.3 非线性时空分数阶对流-扩散方程 |
| 4.3 离散系统的循环预处理子 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 收敛阶的验证 |
| 4.4.2 快速算法实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 时空分数扩散方程导出的块下三角Toeplitz系统的快速求解策略 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 有限差分离散及块下三角Toeplitz系统 |
| 5.2.1 时间步进格式 |
| 5.2.2 块下三角Toeplitz系统 |
| 5.3 两个预处理子以及谱分析 |
| 5.3.1 块二对角Toeplitz预处理子 |
| 5.3.2 斜循环预处理子 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文工作的总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 第二章的补充实验 |
| 附录B 第四章的补充实验 |
| 附录C 第四章的PGPBi COR(3,1)算法 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（4）几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 奇异摄动问题 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 渐近方法 |
| 1.2.2 数值方法 |
| 1.3 本文的工作 |
| 第2章 二阶奇异摄动边值问题 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 有理谱方法 |
| 2.1.2 Sinh变换 |
| 2.1.3 奇异分离技术 |
| 2.2 渐近分析 |
| 2.2.1 反应扩散方程 |
| 2.2.2 对流扩散反应方程 |
| 2.3 误差分析 |
| 2.3.1 最值原理 |
| 2.3.2 误差估计 |
| 2.4 算法实现 |
| 2.4.1 反应扩散方程 |
| 2.4.2 对流扩散反应方程 |
| 2.5 变系数问题 |
| 2.5.1 变系数对流扩散问题 |
| 2.5.2 变系数反应扩散问题 |
| 2.6 数值实验 |
| 2.7 小结 |
| 第3章 奇异摄动方程组问题 |
| 3.1 渐近分析 |
| 3.2 常系数奇异摄动方程组问题 |
| 3.2.1 反应扩散型问题 |
| 3.2.1.1 奇异分离技术 |
| 3.2.1.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.1.3 误差分析 |
| 3.2.2 对流扩散型问题 |
| 3.2.2.1 奇异分离技术 |
| 3.2.2.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.2.3 误差分析 |
| 3.3 变系数问题 |
| 3.3.1 反应扩散型问题 |
| 3.3.2 对流扩散型问题 |
| 3.3.3 对流扩散反应型问题 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 含界面条件的奇异摄动问题 |
| 4.1 反应扩散问题 |
| 4.1.1 渐近分析 |
| 4.1.2 RSC-SSM方法 |
| 4.2 对流扩散问题 |
| 4.2.1 渐近分析 |
| 4.2.2 RSC-SSM方法 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 非定常奇异摄动问题 |
| 5.1 抛物型奇异摄动问题 |
| 5.1.1 Laplace变换 |
| 5.1.2 数值逆Laplace变换 |
| 5.1.3 数值实验 |
| 5.2 时间分数阶奇异摄动问题 |
| 5.2.1 分数阶微积分 |
| 5.2.2 Laplace变换 |
| 5.2.3 数值实验 |
| 5.3 小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作的总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（5）浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1. 绪论 |
| 1.1 背景研究 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 数值计算精度的研究进展 |
| 1.2.2 数值算法并行化的研究进展 |
| 1.2.3 三对角矩阵并行化的研究进展 |
| 1.2.4 MATLAB并行求解应用研究进展 |
| 1.3 发展趋势 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 2. 一维Dirchlet边界条件下浓度对流扩散方程高精度格式构造 |
| 2.1 一般内点差分格式 |
| 2.1.1 内点格式构造 |
| 2.1.2 内点格式稳定性分析 |
| 2.2 边界差分格式 |
| 2.2.1 始边界格式构造 |
| 2.2.2 始边界格式稳定性分析 |
| 2.2.3 末边界格式构造 |
| 2.2.4 末边界格式稳定性分析 |
| 2.3 数值算例 |
| 2.4 本章小结 |
| 3. 浓度对流扩散方程高精度格式并行计算方法 |
| 3.1 并行计算方法推导 |
| 3.2 数值算例及并行效率分析 |
| 3.2.1 一维浓度对流扩散方程并行效率分析 |
| 3.2.2 二维浓度对流扩散方程并行效率分析 |
| 3.3 本章小结 |
| 4. 基于对流扩散方程并行计算中的MATLAB高效实现方法 |
| 4.1 影响并行计算效率的因素 |
| 4.2 提高并行计算效率的方法 |
| 4.2.1 减少数据通讯时间 |
| 4.2.2 混合编译优化 |
| 4.3 本章小结 |
| 5. 环境中的应用 |
| 5.1 问题描述 |
| 5.2 数值模拟 |
| 6. 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A 一维浓度对流扩散方程高精度格式的内点差分系数 |
| 附录B 一维浓度对流扩散方程高精度格式的始边界差分系数 |
| 附录C 一维浓度对流扩散方程高精度格式的末边界差分系数 |
| 附录D 二维浓度对流扩散方程高精度格式的解 |
| 致谢 |
| 作者简历及攻读硕士学位期间的科研成果 |
（6）分数阶对流扩散方程高精度有限差分格式研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的研究背景及意义 |
| 1.2 国内外的研究现状及分析 |
| 1.3 本文的主要研究内容 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 分数阶导数的定义 |
| 2.2 分数阶导数的性质 |
| 2.3 函数空间和算子 |
| 2.4 空间分数阶对流扩散方程 |
| 2.5 本章小节 |
| 第3章 一维单边空间分数阶对流扩散方程数值计算 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 SCN方法 |
| 3.2.1 离散空间分数阶导数 |
| 3.2.2 离散时间导数 |
| 3.3 稳定性和收敛性分析 |
| 3.4 SPH方法 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 本章小节 |
| 第4章 二维空间分数阶对流扩散方程数值计算 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 SCN方法 |
| 4.2.1 离散空间分数阶导数 |
| 4.2.2 离散时间导数 |
| 4.3 稳定性和收敛性分析 |
| 4.4 SPH方法 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（7）空间分数阶偏微分方程的非标准有限差分方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究的背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状及分析 |
| 1.3 本文的主要研究内容 |
| 第二章 空间分数阶扩散方程的非标准有限差分解法 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 非标准有限差分法 |
| 2.1.2 Grünwald-Letnikov公式 |
| 2.2 非标准有限差分格式的构造 |
| 2.3 差分格式的稳定性和收敛性 |
| 2.3.1 差分格式的稳定性 |
| 2.3.2 差分格式的收敛性 |
| 2.4 数值算例 |
| 小结 |
| 第三章 空间分数阶对流-扩散方程的非标准有限差分解法 |
| 3.1 非标准有限差分格式的构造 |
| 3.2 差分格式的稳定性和收敛性 |
| 3.2.1 差分格式的稳定性 |
| 3.2.2 差分格式的收敛性 |
| 3.3 数值算例 |
| 小结 |
| 第四章 含两个空间分数阶导数热方程的非标准有限差分解法 |
| 4.1 非标准有限差分格式的构造 |
| 4.2 差分格式的稳定性和收敛性 |
| 4.2.1 差分格式的稳定性 |
| 4.2.2 差分格式的收敛性 |
| 4.3 数值算例 |
| 小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表论文 |
| 致谢 |
（8）对流扩散方程间断Galerkin方法的稳定性分析与负模估计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究的目的及意义 |
| 1.2 国内外研究发展状况 |
| 1.2.1 间断Galerkin方法 |
| 1.2.2 间断Galerkin方法的后处理技术 |
| 1.3 本文的主要内容 |
| 第2章 热传导方程的L~2稳定性分析 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 网格剖分和有限元空间 |
| 2.1.2 Sobolev空间和范数 |
| 2.1.3 有限元空间的逆性质和投影性质 |
| 2.1.4 DG离散算子的性质 |
| 2.1.5 SIAC滤波器 |
| 2.2 热传导方程的L~2稳定性 |
| 2.2.1 全离散格式的L~2稳定性 |
| 2.2.2 稳定性分析数值实验 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 非线性对流扩散方程的负模估计 |
| 3.1 非线性对流扩散方程的LDG方法 |
| 3.2 差商的L~2范数误差估计 |
| 3.3 差商的负模误差估计 |
| 3.4 数值试验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 变系数对流扩散方程的负模估计 |
| 4.1 差商的L~2范数误差估计 |
| 4.2 差商的负模误差估计 |
| 4.3 数值试验 |
| 4.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（9）分数阶偏微分方程的谱方法及其应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 分数阶微积分简述 |
| §1.2 本文的主要研究内容 |
| 第二章 一维时间-空间分数阶Fokker-Planck方程的时空谱方法及其参数估计问题 |
| §2.1 数学模型 |
| §2.2 数值方法 |
| §2.2.1 预备知识 |
| §2.2.2 变分公式 |
| §2.2.3 数值实施 |
| §2.3 理论分析 |
| §2.4 L-M方法 |
| §2.5 数值算例 |
| §2.5.1 数值方法的有效性 |
| §2.5.2 L-M方法的有效性 |
| §2.6 本章小结 |
| 第三章 二维Riesz空间分布阶对流扩散方程的Crank-Nicolson交替方向Galerkin-Legendre谱方法 |
| §3.1 数学模型 |
| §3.2 数值方法 |
| §3.2.1 预备知识 |
| §3.2.2 数值实施 |
| §3.3 理论分析 |
| §3.3.1 半离散格式的稳定性和收敛性 |
| §3.3.2 全离散格式的稳定性和收敛性 |
| §3.4 数值算例 |
| §3.4.1 数值算例1 |
| §3.4.2 数值算例2 |
| §3.5 本章小结 |
| 第四章 一维耦合非线性的空间分数阶薛定谔方程的谱方法及其贝叶斯参数估计 |
| §4.1 数学模型 |
| §4.2 数值方法 |
| §4.3 理论分析 |
| §4.3.1 守恒定律分析 |
| §4.3.2 收敛性分析 |
| §4.4 贝叶斯方法 |
| §4.5 数值算例 |
| §4.5.1 数值算例1 |
| §4.5.2 数值算例2 |
| §4.5.3 数值算例3 |
| §4.6 本章小结 |
| 第五章 一维时间分数阶Boussinesq方程的谱方法 |
| §5.1 数学模型 |
| §5.2 数值方法 |
| §5.3 理论分析 |
| §5.4 数值算例 |
| §5.4.1 数值算例1 |
| §5.4.2 数值算例2 |
| §5.5 本章小结 |
| 第六章 基于高效多步方法的二维非线性时间分数阶流动/不流动对流扩散方程的无条件收敛谱格式 |
| §6.1 数学模型 |
| §6.2 数值方法 |
| §6.3 快速算法 |
| §6.4 理论分析 |
| §6.4.1 预备知识 |
| §6.4.2 时间离散体系的收敛性分析 |
| §6.4.3 空间离散体系的收敛性分析 |
| §6.4.4 全离散格式的收敛性分析 |
| §6.5 修正方法 |
| §6.6 数值算例 |
| §6.6.1 数值算例1 |
| §6.6.2 数值算例2 |
| §6.6.3 数值算例3 |
| §6.7 本章小结 |
| 第七章 非线性空间分数阶反应扩散方程的二阶稳定的半隐Fourier谱方法 |
| §7.1 数学模型 |
| §7.2 数值方法 |
| §7.3 线性稳定性 |
| §7.4 理论分析 |
| §7.4.1 预备知识 |
| §7.4.2 时间离散体系的收敛性分析 |
| §7.4.3 空间离散体系的收敛性分析 |
| §7.4.4 全离散格式的收敛性分析 |
| §7.5 空间分数阶反应扩散模型系统的推广 |
| §7.6 数值算例 |
| §7.6.1 数值算例 |
| §7.6.2 数值算例 |
| §7.6.3 数值算例3 |
| §7.7 本章小结 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（10）分数阶发展方程的若干高效差分方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究动态 |
| 1.3 本文的研究思路和组织结构 |
| 第2章 双项时间分数阶慢扩散方程的显-隐和隐-显差分方法 |
| 2.1 双项时间分数阶慢扩散模型 |
| 2.2 E-I差分方法 |
| 2.2.1 E-I差分格式的构造 |
| 2.2.2 E-J格式解的存在唯一性 |
| 2.2.3 E-I格式的稳定性 |
| 2.2.4 E-I格式的收敛性 |
| 2.3 I-E差分方法 |
| 2.4 数值试验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 时间分数阶对流-扩散方程的显-隐和隐-显差分方法 |
| 3.1 时间分数阶对流-扩散模型 |
| 3.2 E-I差分方法 |
| 3.2.1 E-I差分格式的构造 |
| 3.2.2 E-1格式解的存在唯一性 |
| 3.2.3 E-I格式的稳定性 |
| 3.2.4 E-I格式的收敛性 |
| 3.3 I-E差分方法 |
| 3.4 数值试验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 时间分数阶对流-扩散方程的PASE-I和PASI-E差分方法 |
| 4.1 时间分数阶对流-扩散模型 |
| 4.2 PASE-I差分方法 |
| 4.2.1 PASE-I差分格式的构造 |
| 4.2.2 PASE-I格式解的存在唯一性 |
| 4.2.3 PASE-I格式的稳定性 |
| 4.2.4 PASE-I格式的收敛性 |
| 4.3 PASI-E差分方法 |
| 4.4 数值试验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 本学位论文的总结 |
| 5.2 本学位论文的展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 攻读硕士学位期间参加的科研工作 |
| 致谢 |
四、变系数对流-扩散方程的交替分段Crank-Nicolson方法（论文参考文献）
- [1]基于修正SPH方法时/空分数阶对流扩散方程的数值研究[D]. 王星驰. 扬州大学, 2021(08)
- [2]几类分数阶微分方程的快速数值算法研究[D]. 蹇焕燕. 电子科技大学, 2021(01)
- [3]时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究[D]. 赵永良. 电子科技大学, 2021(01)
- [4]几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究[D]. 杨录峰. 兰州大学, 2021(09)
- [5]浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用[D]. 谢悦. 大连海事大学, 2020(01)
- [6]分数阶对流扩散方程高精度有限差分格式研究[D]. 张梦真. 哈尔滨工业大学, 2020(01)
- [7]空间分数阶偏微分方程的非标准有限差分方法研究[D]. 刘子婷. 广东工业大学, 2020(06)
- [8]对流扩散方程间断Galerkin方法的稳定性分析与负模估计[D]. 徐亚男. 哈尔滨理工大学, 2020(02)
- [9]分数阶偏微分方程的谱方法及其应用[D]. 张慧. 山东大学, 2019(09)
- [10]分数阶发展方程的若干高效差分方法[D]. 邵京. 华北电力大学(北京), 2019(01)